H-теорема

В термодинамике и кинетической теории, H-теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.

На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В своё время этот результат вызвал бурные споры.

Формулировка

При временной эволюции к равновесному состоянию энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неизменной при достижении равновесного состояния.

H-теорема

Величина H определяется как интеграл по пространству скоростей:

Hoverset def = ∫P(ln P)d³v = ⟨ln P⟩,

где P(v) — вероятность.

Используя уравнение Больцмана, можно показать, что H не может возрастать.

Для системы из N статистически независимых частиц, H соотносится с термодинамической энтропией S посредством:

Soverset def = -NkH,

таким образом, согласно H-теореме, S не может убывать.

Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.

Формулировка

∂H/∂t+∂H_i/∂x_ileqslant 0,

где H = ∫fln fdp/m, H_i = ∫p_i/mfln fdp/m,

f - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана

∂f/∂t+∂f/∂x·p/m+∂f/∂p·F = Q(f,f).

Доказательство

Доказательство следует из неравенства Больцмана

∫ln fQ(f,f)dp/mleqslant 0, где

f - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана,

Q(f,f) - интеграл столкновений.

Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на 1+ln f

и интегрируем по всем возможным скоростям p/m.

При этом используется, что d(fln f) = (1+ln f)df,

неравенство Больцмана ∫ln fQ(f,f)dp/mleqslant 0,

1 - инвариант столкновений, обращение f в нуль при

стремлении скорости к бесконечности.