Формула Серсика

Формула Серсика — эмпирическая формула распределения поверхностной яркости в галактиках. Является более общей формулой, чем закон де Вокулёра, и хорошо описывает различные галактики и отдельные компоненты их структуры.

Формула названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который её впервые использовал.

Формула

Формула Серсика (иногда закон Серсика или закон r1/n) для галактик выражает зависимость между поверхностной яркостью I в точке и её угловым расстоянием до центра галактики r. Формулу можно записать следующим образом:

I(r)/I_e = exp [-ν_n([r/r_e]^(1/n)-1)],

где I_e — поверхностная яркость на расстоянии r_e от центра, которое называется эффективным радиусом, внутри которого излучается половина полной светимости галактики.

Положительная величина n называется индексом Серсика и характеризует общий вид распределения: при небольших n распределение яркости становится более равномерным и более резко обрывается к краю, в то время как при больших n в центре возникает резкий пик яркости, а во внешних частях яркость с удалением от центра убывает медленнее.

Величина ν_n — коэффициент, выбираемый таким образом, чтобы внутри радиуса r_e излучалась половина полной светимости галактики. Коэффициент ν_n не независим и связан с n (см. ниже).

Другое распространённое представление формулы Серсика имеет вид:

I(r) = I₀e^(-ν_nα^(1/n)),

где I₀ — центральная поверхностная яркость, а α = r/r_e. Между I₀ и I_e выполняется соотношение I_e = I₀e^(-ν_n).

Также можно записать формулу Серсика, если использовать поверхностную яркость в звёздных величинах на квадратную секунду дуги μ:

μ(r) = μ₀+2,5ν_n/(ln 10)(r/r_e)^(1/n),

где μ₀ — звёздная величина на квадратную секунду, соответствующая I₀. Если аналогично определить μ_e, то будет верно μ_e = μ₀+2,5ν_n/ln 10.

Связь между n и νn

По определению, ν_n выбирается так, чтобы внутри r_e излучалась половина полной светимости галактики. Тогда её можно найти через функцию L(< r), которая выражает полную светимость L внутри круга с радиусом r. Функцию можно записать в виде интеграла по радиусу:

L(< r) = ∫₀^rI(R)2πRdR.

После раскрытия I(R) и замены x = ν_n(r/r_e)^(1/n) получается:

L(< r) = I₀r_e²2πn/(ν_n)²ⁿγ(2n,x),

где γ ― неполная гамма-функция, определяемая следующим образом:

γ(η,x) = ∫₀^xe^(-t)t^(η-1)dt.

Функция sL(гамма-функция:

L_T = I₀r_e²2πn/(ν_n)²ⁿΓ(2n).

Поскольку внутри r_e излучается половина полной светимости галактики, то можно записать уравнение:

Γ(2n) = 2γ(2n,ν_n).

Получается, что ν_n зависит от n. Для данного уравнения на практике применимы численные решения, но также хорошую точность дают линейные приближения: например, в диапазоне 0,5 эллиптическую, а не круговую форму, то формулы для sL(< r) и L_T нужно домножить на 1-ε — здесь ε = 1-b/a — видимая эллиптичность, а b/a — отношение осей эллипса, описывающего изофоту.

Частные случаи и сходные формулы

Формула Серсика при некоторых n совпадает с другими функциями: при n = 4 функция переходит в закон де Вокулёра, при n = 1 — в убывающую показательную функцию, при n = 0,5 — в функцию Гаусса.

Профиль Эйнасто, который используется для описания распределения плотности в гало тёмной материи, математически описывается той же функцией, что и закон Серсика. Он может быть записан как пропорциональность ρ(r) ∝ e^(-(r/r_*)^α), где ρ — плотность тёмной материи на расстоянии r от центра, r_* — характерный радиус, а α — параметр, эквивалентный 1/n, в то время как подобная пропорциональность для закона Серсика выглядит как I(r) ∝ e^(-(r/r_e)^(1/n)).

Применение

Закон Серсика хорошо описывает распределение яркости как в целых галактиках, так и в отдельных её частях. Распределение поверхностной яркости в большинстве балджей и в эллиптических галактиках невысокой яркости хорошо моделируются законом Серсика при 1 баров закон Серсика также может использоваться — в этом случае обычно s0,5 < n < 1, однако нередко бывает и вне этого значения.

С развитием компьютерных методов анализа изображений наиболее распространённым стал анализ составляющих галактик по отдельности, в том числе с использованием функции Серсика для их описания, а не апроксимация изображения галактики законом Серсика целиком.

Закон Серсика является полностью эмпирическим и не следует из каких-либо теоретических соображений, хотя в численных моделях воспроизводятся распределения яркости, описываемые законом Серсика. Например, в моделях в результате слияний галактик с сопоставимыми массами получившаяся система распределения яркости близка к закону Серсика с n = 4, в то время как распределения яркости с n = 1 появляются в результате «спокойной» динамической эволюции.

Показатель n для конкретной галактики коррелирует с её морфологическим типом. Для эллиптических галактик и балджей наблюдается корреляция n с множеством параметров, среди которых — светимость и размеры, масса чёрной дыры в центре и центральная дисперсия скоростей.

История

Формула Серсика названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который впервые использовал её. В 1968 году он опубликовал «Атлас южных галактик» и применил свою формулу, чтобы описать распределение яркости во всех достаточно крупных галактиках атласа. Серсик также показал, что параметр n коррелирует с морфологическим типом галактики.

Сам Серсик рассматривал свою формулу как обобщение закона де Вокулёра, который Жерар Анри де Вокулёр предложил в 1948 году.