Ферми-газ

Ферми-газ (или идеальный газ Ферми — Дирака) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака — электронный газ.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при T = 0 равна W₀ = 0. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа W₀ с N частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из N квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия W₀ такого газа при T = 0 будет отличной от нуля.

Величину W₀ несложно вычислить. Обозначим через μ₀ энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при T = 0. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже μ₀ заняты, а все квантовые состояния с энергией выше μ₀ — свободны.

Поэтому должно существовать ровно N состояний с энергией ниже или равной μ₀. Этого условия достаточно для нахождения μ₀. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям k интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на h³:

g/h³∬4πp²drdp = Vg/h³∫4πp²dp,

где g — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число g = 2, для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от p = 0 до p₀, величины импульса самого высокого заполненного при T = 0 состояния с энергией μ₀ = (2m)⁻¹p₀², и приравнивая результат к N, получаем с учётом того, что ρ = N/V:

N = Vg/h³4π/3p₀³ = Vg/h³4π/3(2mμ₀)^(3/2),

p₀ = (3ρ/4πg)^(1/3)h,

μ₀ = p₀²/2m = h²/2m(3ρ/4πg)^(2/3)

или для электронов с g = 2:

μ₀ = h²/8m(3ρ/π)^(2/3), g = 2.

Величину μ₀, наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра β = 1/kT плотность числа электронов N(ε) в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний

3/2N/μ₀^(3/2)∫ε^(1/2)dε

на множитель 1/(1+exp [(β(ε-μ)]), который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

N(ε) = 3/2N/μ₀^(3/2)1/(1+exp [β(ε-μ)]),

где величина μ₀ — химический потенциал при T = 0, а μ — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям ε, то можно определить μ как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в ∫ ₀^∞N(ε)dε полного числа частиц N. Отсюда видно, что для N(ε) величина μ есть функция параметров μ₀ и β.

Энергию можно найти из соотношения:

W = ∫ ₀^∞εN(ε)dε,

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

I = ∫ ₀^∞f(ε)g(ε)dε,

в котором функция f(ε) есть некоторая простая и непрерывная функция от ε, например ε^(1/2) или ε^(3/2), и

g(ε) = 1/(1+exp [β(ε-μ)]).

Величина μ₀/k имеет порядок от 5·10⁴ до 10⁵ К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

μ = μ₀[1-π²/12(βμ₀)⁻²-π⁴/80(βμ₀)⁻⁴+…],

которое выражает химический потенциал μ через параметры β и μ₀.

Эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — (βμ₀)⁻² ≈ 10⁻⁴. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.