Уравнение Чандрасекара

Уравнение Чандрасекара в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для распределения плотности сферически-симметричной изотермической газовой сферы под действием собственной силы гравитации, названная по имени американского астрофизика Субраманьяна Чандрасекара. Уравнение имеет вид

1/ξ²d/dξ(ξ²dψ/dξ) = e^(-ψ),

где ξ является безразмерным радиусом, ψ связано с плотностью газовой сферы соотношением ρ = ρ_ce^(-ψ), где ρ_c представляет плотность газа в центре. Уравнение не имеет известного явного решения. Если вместо изотермического вещества взять политропное, записанное уравнение будет представлять собой уравнение Лейна — Эмдена. Обычно изотермическое приближение применяется при описании ядра звезды. В таком случае уравнение решают с начальными условиями

ξ = 0: ψ = 0, dψ/dξ = 0.

Уравнение также возникает и в других областях физики, например, в разработанной Д. А. Франк-Каменецким теории теплового взрыва в замкнутой оболочке[англ.].

Вывод уравнения

Для изотермической газовой звезды давление p складывается из кинетического давления и давления излучения:

p = ρk_B/WHT+4σ/3cT⁴

где

ρ — плотность,

k_B — постоянная Больцмана,

W — средний молекулярный вес,

H — масса протона,

T — температура звезды,

σ — постоянная Стефана — Больцмана,

c — скорость света.

Уравнение для состояния равновесия звезды требует баланса между силой давления и силой гравитации:

1/r²d/dr(r²/ρdp/dr) = -4πGρ,

где r равно радиусу, измеряемому от центра, G является гравитационной постоянной. Уравнение переписывается в виде

k_BT/WH1/r²d/dr(r²(dln ρ)/dr) = -4πGρ.

Вводя преобразования

ψ = ln ρ_c/ρ, ξ = r(4πGρ_cWH/k_BT)^(1/2),

где ρ_c — плотность звезды в центральной части, получаем выражение

1/ξ²d/dξ(ξ²dψ/dξ) = e^(-ψ).

Граничные условия таковы:

ξ = 0: ψ = 0, dψ/dξ = 0.

При ξ≪1 решение близко к

ψ = ξ²/6-ξ⁴/120+ξ⁶/1890+···

Ограничения модели

Предположение об изотермичности сферы имеет некоторые недостатки. Хотя полученная при решении плотность изотермической газовой сферы уменьшается с удалением от центра, всё же уменьшение слишком медленное для того, чтобы получалась надёжно определяемая поверхность и масса сферы оказывалась конечной. Можно показать, что при ξ≫1,

ρ/ρ_c = e^(-ψ) = 2/ξ²[1+A/ξ^(1/2)cos (√7/2ln ξ+δ)+O(ξ⁻¹)]

где A и δ являются постоянными величинами, которые можно получить при численном решении. Такое поведение плотности приводит к увеличению массы при возрастании радиуса. Следовательно, модель обычно пригодна для описания ядер звёзд, где температура приблизительно постоянна.

Особое решение

Преобразование x = 1/ξ приводит уравнение к виду

x⁴d²ψ/dx² = e^(-ψ).

Уравнение имеет особое решение вида

e^(-ψ_s) = 2x², or -ψ_s = 2ln x+ln 2.

Следовательно, можно ввести новую переменную -ψ = 2ln x+z, при этом уравнение для z можно вывести:

d²z/dt²-dz/dt+e^z-2 = 0, t = ln x.

Данное уравнение можно свести к уравнению первого порядка, вводя переменную

y = dz/dt = ξdψ/dξ-2,

тогда

ydy/dz-y+e^z-2 = 0.

Другие варианты уравнения

Уравнение можно привести к другому виду. Пусть

u = (ξe^(-ψ))/dψ/dξ, v = ξdψ/dξ,

тогда

u/vdv/du = (u-1)/(u+v-3).

Свойства

Если ψ(ξ) является решением уравнения Чандрасекара, то ψ(Aξ)-2ln A также является решением уравнения при произвольной константе A.

Решения уравнения Чандрасекара, являющиеся конечными в начале координат, удовлетворяют условию dψ/dξ = 0 при ξ = 0.