Ударная адиабата

Ударная адиабата (уравнение Ранкина — Гюгонио) — математическое соотношение, связывающее термодинамические величины до ударной волны и после. Таким образом, ударная адиабата не описывает сам процесс в ударной волне.

Названо в честь шотландского физика Уильяма Джона Ранкина и французского Пьера-Анри Гюгонио, которые независимо получили это соотношение (опубликовано соответственно в 1870 и 1887—1889 годах).

Ударная адиабата представляет геометрическое место точек возможных конечных состояний вещества за фронтом ударной волны при заданных начальных условиях и описывает эти термодинамические состояния независимо от агрегатного состояния вещества, то есть справедлива для газов, жидкостей и твёрдых тел.

Вывод уравнения ударной адиабаты

Рассмотрим законы сохранения на стационарной ударной волне в такой системе отсчёта, в которой ударный фронт покоится:

ρ₁u₁ = ρ₂u₂ = j,

p₁+ρ₁u₁² = p₂+ρ₂u₂²,

h₁+1/2u₁² = h₂+1/2u₂².

Здесь ρ — плотность газа, u — скорость газа относительно ударной волны, h — удельная энтальпия газа, j — поток массы через разрыв,

индексами «1» и «2» обозначены состояния среды до и после ударной волны.

Выразим скорость в последнем равенстве через поток массы u = j/ρ, получим уравнение:

h₂-h₁+j²/2(1/ρ₂²-1/ρ₁²) = 0.

Исключая из него j с помощью равенства, известного под названием прямая или луч Рэлея — Михельсона (название связано с тем, что это уравнение задаёт прямую линию на плоскости (p,V), где V = 1/ρ — удельный объём):

j² = -(p₂-p₁)/(V₂-V₁),

приходим к соотношению Ранкина — Гюгонио:

h₂-h₁-(p₂-p₁)/2(V₁+V₂) = 0.

Если выразить энтальпию через внутреннюю энергию ε как h = ε+pV, то уравнение Ранкина — Гюгонио переходит в следующее выражение:

ε₂-ε₁-(p₂+p₁)/2(V₁-V₂) = 0.

Особенности ударной адиабаты

Переход вещества через ударную волну является термодинамически необратимым процессом, поэтому при прохождении через вещество ударной волны удельная энтропия увеличивается. Так, для слабых ударных волн в совершенном газе рост энтропии пропорционален кубу относительного роста давления (p₂-p₁)/p₁.

Увеличение энтропии означает наличие диссипации (внутри ударной волны, являющейся узкой переходной зоной, существенны, в частности, вязкость и теплопроводность). Это, в частности, приводит к тому, что тело, движущееся в идеальной жидкости с возникновением ударных волн, испытывает силу сопротивления, то есть для такого движения парадокс Д'Аламбера не имеет места.

Часто ударной адиабатой Гюгонио называют кривую в плоскости (p,V) или (p,ρ), определяющую зависимость p₂ от ρ₂ при заданных начальных значениях p₁ и ρ₁. При заданных p₁ и ρ₁ ударная волна, перпендикулярная потоку, определяется всего одним параметром (наклонная ударная волна характеризуется дополнительно значением касательной к её поверхности составляющей скорости): например, если задать p₂, то по адиабате Гюгонио можно найти ρ₂, а отсюда с использованием вышеприведённых формул — плотность потока j и скорости u₁ и u₂, а из уравнения состояния — температуру и т. д.

Ударную адиабату не следует путать с адиабатой Пуассона, описывающей процесс с постоянной энтропией s, то есть такие процессы термодинамически обратимы.

В отличие от адиабаты Пуассона, для которой s(ρ,p) = const, уравнение ударной адиабаты нельзя написать в виде f(ρ,p) = const, где f — однозначная функция двух аргументов: адиабаты Гюгонио для заданного вещества составляют двухпараметрическое семейство кривых (каждая кривая определяется заданием как p₁, так и ρ₁,) тогда как адиабаты Пуассона — однопараметрическое.

Примеры

Пусть удельная внутренняя энергия имеет выражение как для идеального газа:

ε = λpV

3/2leqslant λleqslant 3.

Величина λ равна 3/2 для одноатомного идеального газа, 5/2 — для двухатомного, 3 — для многоатомного. Для смесей возможны также и все промежуточные значения.

Тогда из общего случая легко получить уравнение ударной адиабаты в виде:

(p₂/p₁+1/(2λ+1))(V₂/V₁-1/(2λ+1)) = 1-1/((2λ+1)²)~.

Правая часть всегда положительна, поэтому и левая часть должна быть положительна, откуда V₂ > V₁/(2λ+1), то есть такой газ может сжиматься ударной волной только менее чем в 2λ+1 раз. Второе начало термодинамики приводит к тому, что p₂geqslant p₁, V₂leqslant V₁ (для всех ударных адиабат), то есть объём вещества после ударной волны может только уменьшаться, а давление — только увеличиваться. (Если V₂ = V₁, то из уравнения следует p₂ = p₁, и наоборот. Это соответствует звуковой волне, а не ударной.)

Для сравнения, уравнение изотермы в аналогичной записи: p₂/p₁V₂/V₁ = 1 (закон Бойля — Мариотта).

Примеры для некоторых значений λ.

При λ = 3/2: (p₂/p₁+1/4)(V₂/V₁-1/4) = 15/16.

При λ = 2: (p₂/p₁+1/5)(V₂/V₁-1/5) = 24/25.

При λ = 5/2: (p₂/p₁+1/6)(V₂/V₁-1/6) = 35/36.

При λ = 3: (p₂/p₁+1/7)(V₂/V₁-1/7) = 48/49.

Правая часть выражения положительна, поэтому и левая должна быть положительна. Отсюда следует, что одноатомный идеальный газ сжимается ударной волной любой силы менее чем в 4 раза, двухатомный — менее чем в 6 раз, многоатомный — менее чем в 7. При этом в данной модели нет ограничений на повышение давления.