Теория теплоёмкости Эйнштейна

Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

Атомы в кристаллической решётке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.

Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна ν = ω/2π.

Число осцилляторов в 1 моле вещества равно 3N_a, где N_a — число Авогадро.

Энергия их квантования: ε = nℏω, где n ∈ N, ℏ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана

N_n = N₀exp (-ℏω/kTn),

где k — постоянная Больцмана, T — термодинамическая температура.

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

U_μ = 3εN_a.

Среднее значение энергии одного осциллятора ε находится из соотношения для среднего значения:

ε = (∑_(n = 0)^∞ε_nN_n)/(∑_(n = 0)^∞ N_n)

и составляет:

ε = ℏω/(exp (ℏω/kT)-1),

отсюда:

U_μ = 3N_aℏω1/(exp (ℏω/kT)-1).

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

C = dU/dT = 3R(ℏω/kT)²(exp (ℏω/kT))/((exp (ℏω/kT)-1)²).

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина θ_E = ℏω/k иногда называется температурой Эйнштейна.

Недостатки теории

Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов при низких температурах, когда при стремлении температуры к нулю теплоемкость стремится к нулю гораздо медленнее, чем по теории Эйнштейна. Также теория Эйнштейна содержит неточное предположение о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.