Теорема Карно (термодинамика)

Теорема Карно — теорема о коэффициенте полезного действия (КПД) тепловых двигателей. Согласно этой теореме, КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и конструкции теплового двигателя и является функцией температур нагревателя и холодильника.

История

В 1824 году Сади Карно опубликовал работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», в которой он сформулировал основные положения теории тепловых машин, описал замкнутый термодинамический цикл рабочего тела тепловой машины. В этой же работе он впервые изложил второе начало термодинамики. В своей работе Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода».

С. Карно рассуждал о движущей силе тепла по аналогии с силой падающей воды и описал предельное количество энергии, которую можно извлечь из разницы температур нагретых тел.

…можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла

Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами…

Формулировки

Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана), а также ранее Д.В.Сивухин (МФТИ) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата:

«Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника:

η = 1-F(T_H,T_X).

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников:

η_n < η_o.

Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):

3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя T_H и холодильника T_X:

η_k = (T_H-T_X)/T_H = 1-T_X/T_H.

η_k < 1, ибо практически невозможно осуществить условие T_H → ∞ и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого : T_X = 0.

4°. Термический к.п.д. η_o произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами T_H и T_X нагревателя и холодильника:

η_o < (T_H-T_X)/T_H.

5°. Термический к.п.д. η_n произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами T_H и T_X:

η_n < (T_H-T_X)/T_H.

Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.

Доказательства теоремы Карно

Существует несколько различных доказательств этой теоремы.

Рассуждение Сади Карно

…В различных положениях поршень испытывает давления более или менее значительные со стороны воздуха, находящегося в цилиндре; упругая сила воздуха меняется как от изменения объёма, так и от изменения температуры, но необходимо заметить, что при равных объёмах, то есть для подобных положений поршня, при разрежении температура будет более высокой, чем при сжатии. Поэтому в первом случае упругая сила воздуха будет больше, а отсюда движущая сила, произведенная движением от расширения, будет больше, чем сила, нужная для сжатия. Таким образом, получится излишек движущей силы, излишек, который можно на что-нибудь употребить. Воздух послужит нам тепловой машиной; мы употребили его даже наиболее выгодным образом, так как не происходило ни одного бесполезного восстановления равновесия теплорода.

Современное доказательство для идеального газа

Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика» (см. рис).

Процесс D-E:

Поскольку газ идеальный, (dU/dV)_T = 0 и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре T_H, превращается во внешнюю работу:

Q_(D-E) = ∫ _(ik)^(cd)pdV = RT_Hln V_(cd)/V_(ik).

Процесс В-C:

Подобным же образом, работа, совершенная при изотермическом сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:

Q_(B-C) = ∫ _(gh)^(ef)pdV = RT_Xln V_(ef)/V_(gh).

Процессы E-B и C-D:

Поскольку газ идеальный и U зависит только от температуры T, из уравнения Q = U₂-U₁+A следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием C_VdT+pdV = 0, получаем:

C_V(T_H-T_X) = ∫ _(cd)^(gh)pdV = -∫ _(ef)^(ik)pdV.

Чтобы найти связь между V_(ik), V_(cd), V_(gh) и V_(ef), заметим, что, согласно уравнению Пуассона TV^(R/C_V) = const, в адиабатических процессах:

(E → B):T_HV_(cd)^(x-1) = T_XV_(gh)^(x-1),

(C → D):T_XV_(ef)^(x-1) = T_HV_(ik)^(x-1),

и, следовательно,

V_(cd)/V_(ik) = V_(gh)/V_(ef).

Подставляя это соотношение в уравнения [1] и [2], получаем

(Q_(B-C))/(Q_(D-E)) = T_H/T_X.

В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен

η_(max) = (T_H-T_X)/T_H.