Спин-орбитальное взаимодействие

Спин-орбитальное взаимодействие — в квантовой физике взаимодействие между движущейся частицей и её собственным магнитным моментом, обусловленным спином частицы. Наиболее часто встречающимся примером такого взаимодействия является взаимодействие электрона, находящегося на одной из орбит в атоме, с собственным спином. Такое взаимодействие, в частности, приводит к возникновению так называемой тонкой структуры энергетического спектра электрона и расщеплению спектроскопических линий атома.

Вывод гамильтониана спин-орбитального взаимодействия

Спин-орбитальное взаимодействие является релятивистским эффектом, поэтому для вывода части гамильтониана, отвечающей данному взаимодействию, следует отталкиваться от уравнения Дирака с учтённым в гамильтониане вкладом от внешнего электромагнитного поля с векторным потенциалом A и скалярным потенциалом φ, для чего в уравнении Дирака, согласно лагранжеву формализму, нужно произвести замену

p → p -(e/c)A

и

E → E+eφ.

В итоге уравнение Дирака принимает вид

iℏ∂ψ/∂t = [cα(p -e/cA)+βmc²+eφ]ψ,

где

β = beginpmatrix1 &0\0&-1 endpmatrix, α = beginpmatrix0&σ\σ&0endpmatrix,

и σ_i — матрицы Паули:

σ_x = beginpmatrix0&1\1&0endpmatrix, σ_y = beginpmatrix0&-i\i&0endpmatrix, σ_z = beginpmatrix1&0\0&-1endpmatrix, 1 = beginpmatrix1&0\0&1endpmatrix.

Из данного гамильтониана видно, что волновая функция ψ должна быть четырёхкомпонентной, причём известно, что две её компоненты соответствуют решениям с положительной энергией, а две — с отрицательной. Роль решений с отрицательной энергией мала при рассмотрении вопросов, связанных с магнитными явлениями, поскольку дырки в спектре отрицательной энергии соответствуют позитронам, для образования которых нужна энергия порядка mc², что значительно превышает энергию, связанную с магнитными явлениями. В связи с вышесказанным удобно воспользоваться каноническим преобразованием Фолди и Ваутхайзена, которое разбивает уравнение Дирака на пару двухкомпонентных уравнений. Одно из которых описывает решения с отрицательной энергией, а другое с положительной и имеет гамильтониан следующего вида:

beginalignedH& = [mc²+1/2m(p -e/cA)²-p⁴/8m³c²]+eφ-eℏ/2mcσ·H +\&+{-ieℏ²/8m²c²σ·∇ × E -eℏ/4m²c²σ·E × p }-eℏ²/8m²c²∇·E.endaligned

Члены, заключённые в фигурные скобки, характеризуют спин-орбитальное взаимодействие. В частности, если электрическое поле центрально-симметричное, то имеем ∇ × E = 0, и гамильтониан спин-орбитального взаимодействия принимает вид

H_(so) = -eℏ/4m²c²σ·E × p = ℏ/4m²c²1/r∂V/∂rσ·r × p = ℏ/4m²c²1/r∂V/∂rσ·L,

где L = r × p — оператор углового момента импульса электрона.

Данный результат согласуется с классическим выражением, описывающим взаимодействие спина электрона с полем, обусловленным орбитальным движением электрона. Поясним это.

Классическое выражение энергии спин-орбитального взаимодействия для атомарного электрона

Пусть электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью v в поле ядра, помещённого в начале системы координат 1, и которое создаёт кулоновское поле

eE = -r/r∂V/∂r.

В системе координат 2, связанной с движущимся электроном, наблюдатель будет видеть движущееся ядро, которое создает как электрическое, так и магнитное поле, с напряженностью E' и H' соответственно. Как следует из теории относительности, E' и H' связаны с Е следующими соотношениями:

E ' = E, H ' ≈ -1/cv × E = -1/mcp × E,

где отброшены члены порядка v²/c².

Тогда уравнение изменения спинового момента количества движения S = ℏ/2σ (связанного, согласно гипотезе Уленбека — Гаудсмита, гиромагнитным отношением с магнитным моментом μ как |μ|/(|S |) = |e|/mc) в системе координат 2 будет иметь вид

dS/dt = μ × H ' = -eℏ/2m²c²σ × [p × E ].

Это уравнение соответствует взаимодействию спина электрона с электромагнитным полем, которое описывается гамильтонианом следующего вида:

H'_(so) = eℏ/2m²c²σ·p × E.

Заметим, что вид гамильтониана с точностью до множителя 1/2 совпадает с видом спин-орбитальной части гамильтониана, полученного из уравнения Дирака с помощью преобразования Фолди и Ваутхайзена. Отсутствие этого множителя связано с тем, что уравнение изменения магнитного момента электрона будет верно только в том случае, если система 2 не будет вращающейся, в противном случае это уравнение, из-за прецессии Томаса, должно иметь вид

dS/dt = eℏ/2mcσ × H '-ω_T × S,

где ω_T — томосовская угловая скорость вращения.

Электрон в атоме ускоряется экранированным кулоновским полем, поэтому томосовская угловая скорость описывается соотношением

ω_T ≈ 1/2m²c²1/r∂V/∂r[r × p ].

Таким образом гамильтониан спин-орбитального взаимодействия будет иметь вид

beginalignedH_(so)& = ℏ/2m²c²1/rdV/drσ·r × p -ℏ/4m²c²1/r∂V/∂rσ·r × p = \[1ex]& = ℏ/4m²c²1/r∂V/∂rσ·r × p,endaligned

что в точности совпадает с ранее полученным результатом.

В твёрдом теле

В полупроводниках спин-орбитальное взаимодествие описывается гамильтонианом Рашбы и Дрессельхауза.