Регулярные тепловые режимы

Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной температурой произвольного по форме однородного и изотропного тела, начальное распределение температур в котором в начальный момент времени τ = 0 задано известной функцией координат f(x, y, z,0)=T0. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды Tf = const.

Уравнение теплопроводности в безразмерных переменных записывается как:

∂Θ/∂Fo = ∇²Θ , где

Θ = (T-T_f)/(T₀-T_f) — безразмерная температура

T = текущая температура тела

Tf = температура среды

T0 = начальная температура тела

Fo = Число Фурье

Решением данного уравнения при изложенных выше условиях является ряд вида:

∑_(n = 1)^∞A_nφ_nexp(-m_nFo)

где φ_n = φ_n(x,y,z,Bi) (где Bi — число Био), а A_n зависит от начальных условий.

Рассматривая поведение данного ряда с течением времени (то есть с ростом Fo), приходим к выводу, что члены m₁,m₂...m_n убывают во времени, причём с неодинаковой скоростью. Члены высших порядков убывают быстрее и через некоторое время становятся пренебрежимо малы. Поэтому температура в любой точке тела задолго до достижения им температуры окружающей среды будет определяться, по существу, первым членом ряда, то есть следовать простому экспоненциальному закону:

Θ = A₁φexp(-m₁Fo)

Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом регулярного, то есть упорядоченного режима.

В зависимости от характера изменения температуры окружающей среды Tf во времени различают регулярные режимы трёх родов.

Регулярный режим первого рода

Рассмотренное выше условие Tf=const определяет регулярный режим первого рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек:

T-T_f = C₁νexp(-mτ)

C₁ = const

ν = ν(x,y,z)

где m — темп нагрева, который для малых чисел Био (Bi<<1) определяется как:

m = -(∂ln(T-T_f))/∂τ = -αF/ρcV, где

F — площадь поверхности тела

α — коэффициент теплоотдачи

ρ — плотность тела

c — теплоёмкость тела.

Для произвольных Bi вводится коэффициент неравномерности температурного поля ψ, который можно определить как отношение средней по поверхности безразмерной температуры к средней безразмерной температуре по объёму. В предельном случае, когда число Био стремится к бесконечности, ψ=0

Тогда выражение для темпа нагрева принимает вид:

m = -(∂ln(T-T_f))/∂τ = -ψαF/ρcV

Регулярный режим второго рода

Наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всех точек тела, и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды:

∂T/∂τ = ∂T_f/∂τ = b

Регулярный режим третьего рода

Регулярный режим третьего рода реализуется в случае гармонических колебаний температуры среды около некоторой средней температуры.

T_f = T_(f0)+Acos(ωτ)

Температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, то есть с периодом, одинаковым для всех точек тела:

T = Psin(ωτ)+Qcos(ωτ) = T₀+Bcos(ωτ-φ)

где φ, T0, P, Q, B — функции координат. (Эти колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.)