Политропный газ

Политропный газ — математическая модель газа, частный случай идеального газа, в котором внутренняя энергия является линейной по температуре функцией.

Модель политропного газа широко распространена в прикладных исследованиях благодаря её сравнительной аналитической простоте и подтверждённому опытом хорошему приближению к действительности.

Определения

E — внутренняя энергия;

T — температура;

p — давление;

ρ — плотность;

S — энтропия;

c_V = ∂E/∂T — удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме;

γ — показатель адиабаты;

R = 8,31441 — универсальная газовая постоянная, определяемая молекулярным (химическим) составом газа;

e = 2,71828... — экспонента.

Описание и свойства модели

Ключевые соотношения

Для политропного газа по определению выполнено:E(T) = c_VT (c_V = const). Поскольку политропный газ - это частный случай идеального газа, то для него выполняетсяpV = RT.

Для идеального газа выполняется соотношение:

S = Rln V+∫E'(T)d(ln T)

Из данного соотношения энтропия для политропного газа имеет вид:

S = Rln(V)+c_Vln(T)+S₀ (S_o = const)

откуда:

T = exp Biggl ((S-S₀)/c_VBiggr)·V^(-R/c_V)

Отсюда получаем соотношение:

p = A(S)ρ^γ

где A(S) = Re^(S-S₀ over c_V) и γ = 1+R/c_V.

Безразмерная константа γ является основной характеристикой политропного газа и называется показателем адиабаты (или показателем политропы).

Так как R > 0 и c_V > 0, то всегда γ > 1.

Для внутренней энергии E политропного газа из предыдущих соотношений получается выражение:

E = 1/(γ-1)pV

Скорость звука c определяется из соотношения:

c² = γp/ρ

Интегралы движения

Для стационарного изэнтропического течения политропного газа справедлив Интеграл Бернулли:

q²/2+γ/(γ-1)p/ρ = const на данной линии тока Λ, где q - модуль скорости.