Показатель адиабаты

Показатель адиабаты (иногда называемый коэффициентом Пуассона) — отношение теплоёмкости при постоянном давлении (C_P) к теплоёмкости при постоянном объёме (C_V). Иногда его ещё называют фактором изоэнтропийного расширения. Обозначается греческой буквой γ (гамма) или κ (каппа). Буквенный символ в основном используется в химических инженерных дисциплинах. В теплотехнике используется латинская буква k.

Уравнение:

γ = C_P/C_V = c_P/c_V,

где

C — теплоёмкость газа,

c — удельная теплоёмкость (отношение теплоёмкости к единице массы) газа,

индексы _P и _V обозначают условие постоянства давления или постоянства объёма, соответственно.

Для показателя адиабаты справедлива теорема Реша (1854):

γ = χ_t/χ_s,

где χ_t и χ_s — изотермический и адиабатический (изоэнтропический) коэффициенты всестороннего сжатия.

Для понимания этого соотношения можно рассмотреть следующий эксперимент. Закрытый цилиндр с закреплённым неподвижно поршнем содержит воздух. Давление внутри равно давлению снаружи. Этот цилиндр нагревается до определённой, требуемой температуры. До тех пор, пока поршень закреплён в неподвижном состоянии, объём воздуха в цилиндре остаётся неизменным, в то время как температура и давление возрастают. Когда требуемая температура будет достигнута, нагревание прекращается. В этот момент поршень «освобождается» и, благодаря этому, начинает перемещаться под давлением воздуха в цилиндре без теплообмена с окружающей средой (воздух расширяется адиабатически). Совершая работу, воздух внутри цилиндра охлаждается ниже достигнутой ранее температуры. Чтобы вернуть воздух к состоянию, когда его температура опять достигнет упомянутого выше требуемого значения (при всё ещё «освобождённом» поршне) воздух необходимо нагреть. Для этого нагревания извне необходимо дополнительно подвести примерно 40 % (для двухатомного газа — воздуха) от того количества теплоты, что было подведено при предыдущем нагревании (с закреплённым поршнем). В этом примере количество теплоты, подведённое к цилиндру при закреплённом поршне, пропорционально C_V, тогда как общее количество подведённой теплоты пропорционально C_P. Таким образом, показатель адиабаты в этом примере равен 1,4.

Другой путь для понимания разницы между C_P и C_V состоит в том, что C_P применяется тогда, когда работа совершается над системой, которую принуждают к изменению своего объёма (то есть путём движения поршня, который сжимает содержимое цилиндра), или если работа совершается системой с изменением её температуры (то есть нагреванием газа в цилиндре, что вынуждает поршень двигаться). C_V применяется только если PdV — а это выражение обозначает совершённую газом работу — равно нулю. Рассмотрим разницу между подведением тепла при закреплённом поршне и подведением тепла при освобождённом поршне. Во втором случае давление газа в цилиндре остаётся постоянным, и газ будет как расширяться, совершая работу над атмосферой, так и увеличивать свою внутреннюю энергию (с увеличением температуры); теплота, которая подводится извне, лишь частично идёт на изменение внутренней энергии газа, в то время как остальное тепло идёт на совершение газом работы.

Соотношения для идеального газа

Для идеального газа теплоёмкость не зависит от температуры. Соответственно, можно выразить энтальпию как H = C_PT и внутренняя энергия может быть представлена как U = C_VT. Таким образом, можно также сказать, что показатель адиабаты — это отношение энтальпии к внутренней энергии:

γ = H/U.

С другой стороны, теплоёмкости могут быть выражены также через показатель адиабаты (γ) и универсальную газовую постоянную (R):

C_P = νγR/(γ-1) и C_V = νR/(γ-1).

Может оказаться достаточно трудным найти информацию о табличных значениях C_V, в то время как табличные значения C_P приводятся чаще. В этом случае можно использовать следующую формулу для определения C_V:

C_V = C_P-νR,

где ν — количество вещества в молях. Для молярных теплоёмкостей, соответственно,

C_P = γR/(γ-1), C_V = R/(γ-1) = C_P-R.

Соотношения с использованием количества степеней свободы

Показатель адиабаты (γ) для идеального газа может быть выражен через количество степеней свободы (i) молекул газа:

γ = (i+2)/i или i = 2/(γ-1).

Таким образом, для одноатомного идеального газа (три степени свободы) показатель адиабаты равен:

γ = 5/3 ≈ 1,67,

в то время как для двуатомного идеального газа (пять степеней свободы) (при комнатной температуре):

γ = 7/5 = 1,4.

Для многоатомного идеального газа (шесть степеней свободы) показатель адиабаты равен:

γ = (6+2)/6 = 4/3 ≈ 1,33.

Воздух на земле представляет собой в основном смесь двухатомных газов (около 78 % азота — N2, и около 21 % кислорода — O2), и при нормальных условиях его можно рассматривать как идеальный. Двухатомный газ имеет пять степеней свободы (три поступательных и две вращательных степени свободы; колебательная степень свободы не задействована, за исключением высоких температур). Как следствие, теоретически, показатель адиабаты для воздуха имеет величину:

γ = (5+2)/5 = 7/5 = 1,4.

Это хорошо согласуется с экспериментальными измерениями показателя адиабаты воздуха, которые приблизительно дают значение 1,403 (приведённое выше в таблице). Неточность отражает наличие в воздухе одного процента одноатомного газа аргона (показатель выше 1,4).

Соотношения для реальных газов

По мере того, как температура возрастает, более высокоэнергетические вращательные и колебательные состояния становятся достижимыми для молекулярных газов, и таким образом, количество степеней свободы возрастает, и уменьшается показатель адиабаты γ.

Для реальных газов, как C_P, так и C_V возрастают с увеличением температуры, при этом разность между ними остаётся неизменной (согласно приведённой выше формуле C_P = C_V+R), и эта разность отражает постоянство величины PV, то есть работы, совершаемой при расширении. Величина P·V представляет собой разницу между количествами подведённой теплоты при постоянном давлении и при постоянном объёме. Следовательно, отношение двух величин, γ, падает при увеличении температуры. См. также удельная теплоёмкость.

Термодинамические выражения

Значения, полученные с помощью приближённых соотношений (в частности, C_p-C_v = R), во многих случаях являются недостаточно точными для практических инженерных расчётов, таких, как расчёты расходов через трубопроводы и клапаны. Предпочтительнее использовать экспериментальные значения, чем те, которые получены с помощью приближённых формул. Строгие значения соотношения C_p/C_v может быть вычислено путём определения C_v из свойств, выраженных как:

C_p-C_v = -T(∂V/∂T)_P²/(∂V/∂P)_T = -T(∂P/∂T)²/∂P/∂V.

Значения C_p не составляет труда измерить, в то время как значения для C_v необходимо определять из формул, подобных этой. См. здесь[англ.] для получения более подробной информации о соотношениях между теплоёмкостями.

Вышеприведённые соотношения отражают подход, основанный на развитии строгих уравнений состояния (таких, как уравнение Пенга — Робинсона[англ.]), которые настолько хорошо согласуются с экспериментом, что для их применения требуется лишь незначительно развивать базу данных соотношений или значений C_v. Значения могут быть также определены с помощью метода конечных разностей.

Адиабатический процесс

Для изоэнтропийного, квазистатического, обратимого адиабатного процесса, происходящего в простом сжимаемом идеальном газе:

PV^γ = constant,

где P — это давление и V — объём газа.

Экспериментальное определение величины показателя адиабаты

Поскольку процессы, происходящие в небольших объёмах газа при прохождении звуковой волны, близки к адиабатическим, показатель адиабаты можно определить, измерив скорость звука в газе. В этом случае показатель адиабаты и скорость звука в газе будут связаны следующим выражением:

c = √γkT/m = √γRT/M,

где γ — показатель адиабаты; k — постоянная Больцмана; R — универсальная газовая постоянная; T — абсолютная температура в кельвинах; m — молекулярная масса; M — молярная масса.

Другим способом экспериментального определения величины показателя адиабаты является метод Клемана — Дезорма, который часто используется в учебных целях при выполнении лабораторных работ. Метод основан на изучении параметров некоторой массы газа, переходящей из одного состояния в другое двумя последовательными процессами: адиабатическим и изохорическим.

Лабораторная установка включает стеклянный баллон, соединённый с манометром, краном и резиновой грушей. Груша служит для нагнетания воздуха в баллон. Специальный зажим предотвращает утечку воздуха из баллона. Манометр измеряет разность давлений внутри и вне баллона. Кран может выпускать воздух из баллона в атмосферу.

Пусть первоначально в баллоне было атмосферное давление и комнатная температура. Процесс выполнения работы можно условно разбить на два этапа, каждый из которых включает в себя адиабатный и изохорный процесс.

1-й этап:

При закрытом кране накачиваем в баллон небольшое количество воздуха и зажимаем шланг зажимом. При этом давление и температура в баллоне повысятся. Это адиабатический процесс. Со временем давление в баллоне начнёт уменьшаться вследствие того, что газ в баллоне начнёт охлаждаться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом давление будет уменьшаться при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравняется с температурой окружающего воздуха, запишем показания манометра h₁.

2-й этап:

Теперь откроем кран 3 на 1—2 секунды. Воздух в баллоне будет адиабатно расширяться до атмосферного давления. При этом температура в баллоне понизится. Затем кран закроем. Со временем давление в баллоне начнёт увеличиваться вследствие того, что газ в баллоне начнёт нагреваться за счёт теплообмена через стенки баллона. При этом снова будет увеличиваться давление при постоянном объёме. Это изохорный процесс. Выждав, когда температура воздуха внутри баллона сравнится с температурой окружающего воздуха, запишем показание манометра h₂. Для каждой ветви 2-х этапов можно написать соответствующие уравнения адиабаты и изохоры. Получится система уравнений, которые включают в себя показатель адиабаты. Их приближённое решение приводит к следующей расчётной формуле для искомой величины:

γ = h₁/(h₁-h₂).

Недостатком данного метода является то, что процессы быстрого расширения газа в ходе лабораторной работы не являются чисто адиабатическими ввиду теплообмена через стенку сосудов, а рассматриваемый газ заведомо не является идеальным. И хотя полученная в ходе лабораторной работы величина будет заведомо содержать методическую погрешность, всё же существуют различные способы её устранения, например, за счёт учёта времени расширения и количества подведенного за это время тепла.