Закон Рэлея — Джинса

Закон Рэлея — Джинса — закон, определяющий вид объёмной спектральной плотности энергии излучения u(ω,T) и излучательной способности ε(ω,T) абсолютно чёрного тела с температурой T. Получен Рэлеем и Джинсом в рамках классической статистики (теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и представлений об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе). Здесь ω — частота излучения, но в качестве аргумента могут выбираться и другие параметры, например длина волны.

Правильно описывает низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводит к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), указывающему на неприменимость представлений классической физики в данной задаче. Универсальным выражением для спектральной плотности является формула Планка, в пределе ω → 0 превращающаяся в закон Рэлея — Джинса.

Вывод формулы Рэлея — Джинса

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы, в соответствии с которым на каждое электромагнитное колебание приходится, в среднем, энергия kT (k - постоянная Больцмана), состоящая из двух частей kT/2. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная.

Само по себе равновесное излучение в полости внутри абсолютно чёрного тела можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве в диапазоне частот ω…ω+d ω даётся выражением

d n_ω = (ω²d ω)/2π²v³

Скорость волны v следует положить равной скорости света c. Так как в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, выражение вдобавок необходимо помножить на два:

d n_ω = (ω²d ω)/π²c³

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию E = kT. При этом плотность энергии, приходящаяся на интервал частот d ω, составит

u(ω,T)d ω = Ed n_ω = kTω²/π²c³d ω

и, следовательно:

u(ω,T) = ω²kT/π²c³

Можно перейти от аргумента «частота ω» к аргументу «длина волны λ» (ω = 2πc/λ):

u(λ,T) = u(ω,T)·|dω/dλ| = kTω²/π²c³·2πc/λ² = 8πkT/λ⁴

Также можно перейти от аргумента «частота ω» к аргументу «частота ν» в герцах (ω = 2πν):

u(ν,T) = u(ω,T)·|dω/dν| = kTω²/π²c³·2π = 8πν²kT/c³

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ u снабжают значком: u_ω, u_ν или u_λ.

Зная связь излучательной способности абсолютно чёрного тела ε(ω,T) с равновесной плотностью энергии теплового излучения ε(ω,T) = c/4u(ω,T), ε(λ,T) = c/4u(λ,T) и ε(ν,T) = c/4u(ν,T), находим:

ε(ω,T) = ω²kT/4π²c²

ε(λ,T) = 2πckT/λ⁴

ε(ν,T) = 2πν²kT/c²

Зная связь энергетической яркости абсолютно чёрного тела B(ω,T) с равновесной плотностью энергии теплового излучения B(ω,T) = c/4πu(ω,T), B(λ,T) = c/4πu(λ,T) и B(ν,T) = c/4πu(ν,T), находим:

B(ω,T) = ω²kT/4π³c²

B(λ,T) = 2ckT/λ⁴

B(ν,T) = 2ν²kT/c²

Выражения для u(ω,T) и ε(ω,T) называют формулой Рэлея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы для u(ω,T) и ε(ω,T) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах теоретическая и экспериментальная кривые резко расходятся. Более того, интегрирование u(ω,T) по ω в пределах от 0 до ∞ для равновесной плотности энергии u(T) даёт бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях u(T). Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции u(ω,T), соответствующей опытным данным, в дальнейшем названной формулой Планка.