Абсолютно чёрное тело

Абсолютно чёрное тело (сокращённо АЧТ) — физическое тело, которое при любой температуре поглощает всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах.

Таким образом, у абсолютно чёрного тела поглощательная способность (отношение поглощённой энергии к энергии падающего излучения) равна 1 для излучения всех частот, направлений распространения и поляризаций.

Несмотря на название, абсолютно чёрное тело при абсолютной температуре не равной 0 само испускает электромагнитное излучение на всех частотах и при достаточной температуре светится. Более того, как следует из закона Кирхгофа для теплового излучения, АЧТ обладает максимально возможной излучательной способностью. Спектр излучения абсолютно чёрного тела непрерывен и спектральная плотность излучения зависит только от температуры. Длина волны спектрального максимума для АЧТ определяется законом смещения Вина.

Важность модели абсолютно чёрного тела в теории теплового излучения обусловлена тем, что вопрос о спектре равновесного теплового излучения тел любого цвета и коэффициента отражения сводится методами классической термодинамики к вопросу об излучении абсолютно чёрного тела. К концу XIX века невозможность объяснить наблюдаемый спектр АЧТ методами классической теоретической физики была одной из проблем физики.

Спектральная плотность мощности излучения чёрного тела (мощность, излучаемая с поверхности единичной площади в единичном интервале частот в герцах) задаётся формулой Планка:

R_ν(ν,T) = 2πhν³/c²1/(e^(hν/kT)-1)

где T — абсолютная температура;

h — постоянная Планка;

c — скорость света;

k — постоянная Больцмана;

ν — частота электромагнитного излучения.

Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на длину волны 450 нм, что соответствует температуре фотосферы Солнца около 6000 K (если рассматривать Солнце как абсолютно чёрное тело).

Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году.

Практическая модель абсолютно чёрного тела

Для физических экспериментов и обсуждений, касающихся проблематики абсолютно чёрного тела, используют модельный объект. Он представляет полость в непрозрачном материале с изотермическими стенками, у которой есть небольшое отверстие. Внешний свет, попадающий в полость сквозь это отверстие после многократных отражений от стенок полости будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным, если температура стенок полости не очень высока. Но при нагревании стенок этой полости у неё появится собственное видимое излучение.

Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде чем выйдет наружу (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений стенками полости и излучений, то можно полагать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками (фактически наличие отверстия в этой модели вообще несущественно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри. Отверстие можно, например, держать закрытым, и быстро приоткрыть только для выполнения измерения после установления равновесного излучения в полости).

Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости), называется чернотельным (или тепловым равновесным излучением).

Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с телом, эта температура может быть названа темпе5ратурой излучения).

Примеры чёрных тел и чернотельного излучения

Близким к единице коэффициентом поглощения обладают поверхности покрытые сажей и платиновая чернью. Сажа поглощает около 99 % падающего излучения видимого диапазона излучения (то есть имеет альбедо в этом диапазоне примерно равное 0,01), однако инфракрасное излучение поглощается ею значительно хуже.

Наиболее чёрная поверхность из всех известных — изобретённая в 2014 году поверхность Vantablack, состоящая из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок, — поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.

Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон — заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 K.

Чернотельным является излучение Хокинга (квантовомеханическое испарение чёрных дыр). Это излучение имеет температуру:

T_(BH) = hc³/16π²kGM

где G — гравитационная постоянная;

M — масса чёрной дыры.

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Под законами излучения подразумеваются зависимости испускательной способности поверхности тела от частоты (R_ν(ν), Вт/м2/Гц) или длины волны (R_λ(λ), Вт/м2/м) излучения, а также утверждения, касающиеся особенностей таких зависимостей. Вместо формулы для испускательной способности может рассматриваться связанная с ней формула объёмной спектральной плотности u (Дж/м3/Гц для u_ν(ν) или Дж/м3/м для u_λ(λ):

u = 4R/c

Изначально при поиске формального выражения для закона излучения чёрного тела были применены классические методы статистической физики, давшие ряд важных и верных результатов, но полностью объяснить результаты эксперимента не позволили. В итоге теоретический анализ излучения абсолютно чёрного тела явился одной из предпосылок появления квантовой механики.

Классические законы

Закон Рэлея — Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела на основе классических принципов термодинамики приводит к закону Рэлея — Джинса (k — постоянная Больцмана, T — температура):

u_ν = 8πν²kT/c³

u_λ = 8πkT/λ⁴

Вычисления по этим формулам совпадают с экспериментальными данными в длинноволновой области спектра.

Однако, из этой формулы вытекает неограниченное возрастание как квадратичная функция спектральной плотности с частотой. Такая зависимость означала бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия любого тела должна была бы перейти в энергию коротковолнового излучения. Такое гипотетическое поведение было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Первый закон излучения Вина

В 1893 году Вильгельм Вин, воспользовавшись, помимо классической термодинамики, электромагнитной теорией света, вывел следующую формулу:

u_ν = ν³f(ν/T)

u_λ = λ⁻⁵f(c/λT)

где f — функция, зависящая исключительно от отношения частоты к температуре.

Вывести её вид только из термодинамических соображений невозможно.

Первая формула Вина справедлива для всех частот.

Из неё выводится закон смещения Вина (закон максимума) в виде:

λ_(max)∼(rm const)/T

где λ_(max) отвечает максимуму функции u_λ(λ).

Также из этой формулы можно получить закон Стефана — Больцмана:

J = c/4∫u_νdν∼rm const·T⁴

где J — мощность излучения единицы поверхности тела.

Константы могут быть оценены из эксперимента. Для теоретического же их определения требуются методы квантовой механики.

Связь закона Вина с постоянной Планка

В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел функцию:

u_ν = C₁ν³e^(-C₂ν/T)

u_λ = C₁c⁴λ⁻⁵e^(-C₂c/λT)

где C1, C2 — некоторые константы.

Опыт показывает, что частная формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Как и в случае закона максимума, константы не могут быть определены только из классических моделей.

Квантовомеханические законы

Закон Планка

По современным представлениям, интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты и температуры определяется законом Планка:

u_ν = 8πhν³/c³1/(e^(hν/kT)-1), R_ν = 2πhν³/c²1/(e^(hν/kT)-1)

Здесь приведено выражение как для объёмной спектральной плотности энергии u_ν, так и для поверхностной спектральной плотности мощности излучения R_ν. Это эквивалентно выражениям:

u_λ = 8πhc/λ⁵1/(e^(hc/λkT)-1), R_λ = 2πhc²/λ⁵1/(e^(hc/λkT)-1)

в которых те же величины представлены как зависимости от длины волны.

Исходя из формулы Планка можно получить формулу Рэлея — Джинса при hν/kT≪1.

Также было показано, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов — и были найдены входящие в закон Вина постоянные C1 и C2. В результате формула второго закона Вина обретает вид:

u_ν = 8πhν³/c³e^(-hν/kT) (hν/kT≫1)

Во всех вышеприведённых выражениях через h обозначена постоянная Планка.

Закон смещения Вина

Длина волны, при которой спектральная плотность мощности излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:

λ_(max) = 0,002898/T,

где T — температура в кельвинах;

λ_(max) — длина волны, отвечающей максимуму u_λ, в метрах.

Числовой множитель получается из формулы Планка.

Если считать, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 K) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области).

Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана — Больцмана гласит, что полная мощность излучения (Вт/м2) абсолютно чёрного тела, то есть интеграл спектральной плотности мощности по всем частотам, приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:

J = ∫R_ν(ν,T)dν = σT⁴

где

σ = 2π⁵k⁴/15c²h³ = π²k⁴/60ℏ³c² ≈ 5,670400(40)·10⁻⁸

Вт/(м2·К4) — постоянная Стефана — Больцмана.

Таким образом, абсолютно чёрное тело при T=100 K излучает 5,67 ватта с квадратного метра поверхности. При 1000 K мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатта с квадратного метра.

Для нечёрных тел приближённо справедливо J = εσT⁴, где ε — степень черноты.

Для абсолютно чёрного тела ε = 1, для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения:

ε = α = 1-ρ-τ

где α — коэффициент поглощения;

ρ — коэффициент отражения,

τ — коэффициент пропускания.

Поэтому для уменьшения лучистого теплопереноса поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения — затемняют.

Цветность чернотельного излучения

Цветность чернотельного излучения, или, вернее, цветовой тон излучения абсолютно чёрного тела при его определённой температуре, приведена в таблице:

Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (D65). Реально воспринимаемый цвет может быть искажён адаптацией глаза к условиям освещения. Видимый цвет чёрных тел с разной температурой также представлен на диаграмме в начале статьи.

Термодинамика чернотельного излучения

В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, состоящий из электронейтральных безмассовых частиц, заполняющий полость объёмом V в абсолютно чёрном теле (см. раздел «Практическая модель»), с давлением P и температурой T, совпадающей с температурой стенок полости. Для фотонного газа справедливы следующие термодинамические соотношения:

Для большей компактности в формулах использована радиационная постоянная a вместо постоянной Стефана — Больцмана σ:

где c — скорость света в вакууме.

Фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободы.

Давление равновесного фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс (T = const) является одновременно и изобарным процессом (P = const). С повышением температуры давление фотонного газа растёт очень быстро, достигая 1 атмосферы уже при T = 1,4⋅105 K, а при температуре 107 K (температура центра Солнца) давление достигает значения 2,5⋅107 атм (2,5⋅1012 Па). Величина теплоёмкости излучения становится сравнимой с величиной теплоёмкости одноатомного идеального газа лишь при температурах порядка миллионов кельвинов.

Представление о температуре излучения было введено Б. Б. Голицыным (1893).